공분산과 상관계수

1. 공분산(Covariance) 

  ㅇ 두 변량(확률변수 등) 사이에 상관성/의존성/유사성의 방향 및 정도에 대한 척도
 
  ※ [참고]
     - 상관성 의미 ☞ 상관(Correlation) 참조
     - 공분산 행렬 ☞ 확률벡터 참조


2. 공분산 및 상관(계수) 정의

  ㅇ 공분산 (Covariance)
     - 두 변량이 상관적으로 변화되는 척도
        . 두 변량이 각각의 평균으로부터 변화하는 방향 및 양에 대한 기대값
           .. 보통 Cov(X,Y),σXY로 표시함
       

  ㅇ 상관 계수 (Correlation Coefficient) = 정규화된 공분산
     - 공분산이 각 변량의 단위에 의존하게되어 변동 크기량이 모호하므로,
       공분산에다가 각 변량의 표준편차를 나누어주어 `정규화`시킴
       
        . 여기서, Var() : 분산, σX : 표준편차, Cov(X,Y) : 공분산
     - 특징
        . 단위가 무차원(dimensionless)임
        . -1 ≤ ρXY ≤ 1


3. 공분산 또는 상관계수 값에 따른 의미

  ㅇ 양수  :  `강한 양의 상관관계`  (positively correlated)
     - 두 변량이 같은 방향으로 움직임 (X가 커지면 Y도 덩달아 커짐)

  ㅇ 음수  :  `강한 음의 상관관계`  (negatively correlated)
     - 두 변량이 반대방향으로 움직이는 것 (X가 커지면 Y는 작아짐)

  ㅇ 0(영) :  `상관관계 없음`       (uncorrelated)
     - 두 변량 간에 직선적인 혹은 비례적인 관계를 발견할 수 없을 때를 말함
        . 즉, 통계적 독립인 경우 임 : 

     


4. 공분산 성질

  ㅇ 교환법칙 : 

  ㅇ 동일 변량에 대한 공분산은 분산이 됨 : 

  ㅇ 기타성질
     


5. 다변량 확률변수의 공분산

  ※ ☞ 공분산 행렬 참조
     - 2 변량 이상의 변량이 있는 경우에 모든 변량 쌍들 간의 공분산을 행렬로 표현한 것

출처: http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=2890