수치적분 사다리꼴 C 코드

수치적분(Trapezoidal Approximations) 의 사다리꼴 방식을 이용하여 면적을 구하는 방법은 다음과 같다.

A~B 사이의 구간을 사다리꼴 모양으로 쪼개어 더하면 되는데,

사다리꼴 면적을 구하는 공식은 초등학교 산수책에도 나와 있다.

{(밑변 + 윗변) * h} / 2,  ( h: 높이 )

이것을 이용하여 A~B 구간의 면적을 구할려면

이와 같이 표시할 수 있다.

그럼 하나의 예제를 들어보자.

다음과 같이 반지름의 길이가 2인 원의 1/4 면적을 구하는 공식은 다음과 같다.

S = (π / 4) * r * r = (π / 4) * 4 = π

면적이 원주율로 나오게 되는데  원주율 구하는 방정식을 코드로 표시하면

#include <math.h>

#include <iostream>

#include <cstdint>

using namespace std;

//#define f(x) (sqrt(4-(x)*(x))) // 0~2

#define f(x) (4/(1+(x*x))) // 0~1

// 위 원의 면적은 첫번째 방정식이지만, 여기서는 다른 방정식으로 π 를 구한다

int main()

{

double  x, s;

__int64 count = 100;

double a = 0;

double b = 1;

// 적분구간

double h = (b - a) / count; // 구간폭

x = a; s = 0;

for (int i=0; i< count; i++)

{

x = x + h;

s = s + f(x);

}

double sum = h * ((f(a) + f(b)) / 2 + s);

cout << sum << endl;

    return 0;

}

이 사다리꼴방식의 적분은 쪼개는 횟수가 높으면 높을수록 정확도가 높아지며,

반대로 작을수록 오차가 커진다.

결과를 보면,

10	3.33993
30	3.20807
50	3.18153
100	3.16158
500	3.14559
1000	3.14359
5000	3.14199
10000	3.14179
50000	3.14163
100000	3.14161
1000000	3.14159

 

당연히 숫자가 커질수록 실제 수치인 π (3.141592..)에 근접해지는 걸 볼 수 있다.